「质因子」在说什么：为什么 0.1 换进制就写不完

订单簿里不能用 float64 表示价格，常被一句话打发：「0.1 在二进制里写不完。」再往下追，就会撞上另一句：看分母的质因子，是不是都是这个进制基数也有的质因子。

这句话不绕。拆开只有三块：什么是质因子、进制的基数有哪些质因子、多出来的那个质因子会把小数变成无限循环。

质因子是什么

质数只能被 1 和自己整除：2、3、5、7、11……

质因子就是把整数拆成质数相乘后，那些质数。

1
2
3

10 = 2 × 5      → 10 的质因子是 2 和 5
8  = 2 × 2 × 2  → 8 的质因子只有 2
15 = 3 × 5      → 15 的质因子是 3 和 5

同一个质数出现几次没关系，关心的是「拆完还剩哪些不同的质数」。

基数就是逢几进一。

小数点后每一位，都是「1 / 基数的某次方」：

十进制 0.1   = 1 / 10
十进制 0.01  = 1 / 100
二进制 0.1₂  = 1 / 2   = 0.5₁₀
二进制 0.01₂ = 1 / 4   = 0.25₁₀

所以二进制小数只能精确表示「分母是 2 的幂」的分数：1/2、3/4、7/8。分母里一旦多出别的质数，就写不完。

只需记这一句： 1/n 在某进制里能不能写完，看 n 拆完以后，是不是只剩下「这个进制也有的」质因子。多出来的质因子，就会变成无限循环。

分数	n 的质因子	是不是只有 2、5	结果
`1/2`	2	是	`0.5` 写得完
`1/5`	5	是	`0.2` 写得完
`1/10`	2、5	是	`0.1` 写得完
`1/4`	2、2	是	`0.25` 写得完
`1/3`	3	否，多了个 3	`0.333...` 写不完
`1/7`	7	否	`0.142857` 循环

1/3 人人都见过：十进制里 3 这个质因子「进制没有」，于是永远除不尽。

分数	n 的质因子	去掉 2 以后还剩什么	结果
`1/2`	2	空	`0.1₂` 写得完
`1/4`	2、2	空	`0.01₂` 写得完
`1/8`	2、2、2	空	`0.001₂` 写得完
`1/5`	5	还剩 5	循环，写不完
`1/10`	2、5	还剩 5	循环，写不完

0.1 在十进制刚好写得完，因为分母 10 只有 2 和 5。换到二进制，5 这个质因子「进制里没有」，所以变成：

1	0.1₁₀ = 0.00011001100110011...₂ （0011 一直重复）

机器只能存有限位，只好截断。打印时常显示成 0.1，那是显示时又圆了一下，内存里其实是：

1	0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

钱和价格按十进制（分、厘）计价，0.1、0.01 在十进制里刚好有限。丢进 float64（二进制）就变成无限循环，再截断就错。先写成 float64 再转 decimal，转的是已经错了的近似，回不去你写下的那个十分之一。

用长除法想也行：十进制下 1÷3 永远余 1，所以一直是 3；二进制下 1÷10 同样余数循环，所以一直是 0011。

任何进制都是「每位乘以基数的幂，再相加」。

十进制 13.25：

1	1×10¹ + 3×10⁰ + 2×10⁻¹ + 5×10⁻²

二进制小数点后第 1 位是 1/2，第 2 位是 1/4，第 3 位是 1/8。没有一位等于 1/10，所以 1/10 只能用无限个 1/2^k 去凑，永远凑不精确。

十进制写不准 1/3，二进制写不准 1/10，是同一类限制，只是我们更熟悉十进制。

「n 的质因子」是分母拆出来的质数。「该进制基数的质因子」是 10 拆出来的 2、5，或 2 拆出来的 2。两者一比，多出来的那个，就是循环的来源。