± (1.尾数) × 2^(指数-1023) 在说什么

上一篇讲完质因子：0.1 在二进制里是无限循环。机器却只有 64 位，必须截成一个有限的近似。截的规则写在 IEEE 754 的这一行里：

1	值 ≈ ± (1.尾数) × 2^(指数 − 1023)

它不是新公式，就是二进制版的科学计数法，再配上「指数不能直接存负数」的偏移。

先看你早就用过的科学计数法

十进制里：

1 2	123.45 = 1.2345 × 10² 0.0032 = 3.2 × 10⁻³

规矩：小数点左边只留 1 位非零数字，其余放进「× 10 的几次方」。
数的大小由指数管，精度由小数点后面那些位管。

float64 完全一样，只是底数从 10 换成 2：

1	任意数 = ± 1.xxxxx × 2^真正的指数

1	[正负号 1 位] [存放的指数 11 位] [小数点后的尾数 52 位]

64 位不是「整数部分 + 小数部分」，而是「符号 + 科学计数法的指数 + 科学计数法的小数」。

规范化之后，小数点前永远是 1。二进制里非零数的最高位只能是 1，没有别的选择。

既然永远是 1，就不必再占 1 位存储，默认它在。这叫隐含位（hidden bit）。

你真正拥有的有效数字：

1	隐含的 1 + 存下来的 52 位尾数 = 53 位

类比：十进制如果规定一定写成 1.xxx × 10^e，那个 1 也可以不写，只记后面的 xxx。

公式里的 (1.尾数) 就是这个意思：点前面的 1 不占存储，点后面的 52 位才写进那 64 位里。

11 位指数存的是 0～2047 的整数，不能直接存负数。做法是先加一个偏移 1023 再存：

1 2	存放的指数 = 真正的指数 + 1023 真正的指数 = 存放的指数 − 1023

读出来再减 1023，得到真正的指数。所以公式里会看到 2^(指数 − 1023)。

1023 不是魔法数，是 11 位能表示的范围对半切开，留给正负两边用：

1
2
3

11 位最大值 2047
常用范围大约 −1022 … +1023
偏移取 1023

（全 0、全 1 留给 0、无穷、NaN，这里先不展开。）

把 0.1 写成二进制科学计数法（过程不用背，看形状）：

1 2	0.1₁₀ = 0.00011001100110011...₂ （0011 一直重复） = 1.1001100110011...₂ × 2⁻⁴

理想中 1. 后面的 1001 要写无限位。机器只给 52 个空位，第 53 位及以后只能四舍五入掉。

于是内存里不是「精确的 0.1」，而是「离 0.1 最近的、用 53 个二进制位能写出的那个数」，大约是：

1	0.10000000000000000555...

打印时常显示成 0.1，那是显示时又圆了一下，不是内存里真的等于十分之一。

上一篇说的是「为什么循环」：分母多了个质因子 5。
这篇说的是「循环之后机器怎么存」：只留 53 位有效数字，多出来的丢掉。
两件事叠在一起，才变成「先写 float64 再转 decimal 救不回来」。

一句话：(1.尾数) 是精度，2^(指数 − 1023) 是小数点往哪移。0.1 的精度是无限的，盒子只有 53 位，只好截成近似。